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Grundlagen der analytischen Statistik - Measures of Location (=Konzentrationsmessung)

Unter dem Bereich der Konzentrationsmessung werden vier verschiedene Methoden unterschieden:

Arithmetischer Mittelwert oder Erwartungswert (mean), Reichweite (range), Modus (mode), Median und die Standardabweichung oder Varianz ( standard deviation or variance).

Erwartungswert

Der arithmetischer Mittelwert oder Erwartungswert ist eines der wichtigsten Instrumente der einführenden Statistik. Dabei werden die Werte der Zufallsvariablen aufsummiert und anschließend durch die Anzahl der Zufallsvariablen ( oder Beobachtungen) dividiert. (formel). Der Erwartungswert wird in der Statistik mit X oberstrich bezeichnet. Er lässt sich nur für Intervall- oder Verhältnisskalen feststellen. Bsp. In einer Sportbar werden 10, zufällig ausgewählte, Personen nach ihrem Alter befragt. Wie hoch wäre für diese Personen das zu erwartende Alter (obwohl keiner der Personen tatsächlich so alt sein muss).

Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Alter 18 20 25 30 31 20 31 20 45 50

Für die oben festgestellten Zufallsvariablen wird der Erwartungswert wie folgt berechnet:

(18+20+25+30+31+20+31+20+45+50)/10= 29 – Das zu erwartende Alter der ausgewählten Personen beträgt demnach 29 Jahre.

Reichweite

Die Reichweite beschreibt den Abstand (spread) zwischen der niedrigsten und höchsten Zufallsvariable. Er zeigt auf in welchem Bereich sich die Messwerte verteilen. Formel . Der höchste Beobachtungswert wird dabei mit dem Niedrigsten subtrahiert. Für die obere Gruppe beträgt die Reichweite demnach 50–18 = 22.

Modus

Der Modus gibt den Beobachtungswert an der am häufigsten auftritt. Eine Anwendung des Modus ist lediglich für Nominalskalen sinnvoll. Im Beispiel beträgt das Alter von drei Personen 20 Jahre. Dies ist demnach der Modus.

Median

Der Median ist der Wert der bei der mittleren Zufallsvariablen auftritt. Bei neun Beobachtungen wäre der Median also der Wert der 5. Zufallsvariablen (bei einer geraden Anzahl von Zufallsvariablen ist demnach zwischen den beiden mittleren ein Mittelwert zu bilden. Um den Median zu bilden sind die Ergebnisse zunächst zu ordnen. In unserem Beispiel ist der Median 

(25+30)/2 = 27.5 .

Standardabweichung (Varianz)

Die Standardabweichung gibt die Streuung einer Zufallsvariablen um ihren Erwartungswert an. Sie wird in der Statistik mit σ (sigma) oder s bezeichnet bezeichnet.Die Varianz ist die quadrierte Standardabweichung (σ^2 oder s^2).

Erklärung: Wurzel aus (Wert der Zufallsvariable – Erwartungswert)^2 / (Anzahl Zufallsvariablen – 1).

(für die Berechnung der Varianz wird die Wurzel dementsprechend weggelassen). Bei mehren Beobachtungen, wie in unserem Beispiel muss die Varianz für jeden Wert einzeln berechnet werden (aufgrund der Wurzel ist es bei mehreren Werten einfacher die Varianzen zu berechnen und anschließend die Wurzel zu ziehen), um anschließend einen Mittelwert zu bilden.

Bsp. Varianz für Person 1

σ^2 = (18- 29)^2 / (10-1) = 13.45

Es gibt jedoch eine einfachere Methode. Die quadrierten Abweichungswerte (X-X oberstrich)^2 der Zufallsvariablen werden aufsummiert und anschließend mit dem unterem Term (n-1) dividiert.

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